Kali ini saya akan membahas soal ujian perguruan tinggi. Soal yang saya pilih adalah soal tes unit II Matematika Fisika I di jurusan Pendidika Fisika UPI. Semoga bermanfaat dan mohon koreksi jika ada kekeliruan.
Soal:Dalam persoalan termodinamika, berlaku $S(V,T)$ dan $V(p,T)$ serta didefinisikan:
$$C_p=T\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{T}}\bigg)_p$$
dan
$$C_V=T\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{T}}\bigg)_V$$
Di sini $S$ adalah entropi, $V$ adalah volume gas, $p$ adalah tekanan gas, $T$ adalah temperatur, $C_p$ adalah kalor jenis gas pada tekanan konstan, dan $C_V$ adalah kalor jenis pada volume konstan. Buktikan bahwa
$$C_p-C_V=T\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{V}}\bigg)_T\bigg(\frac{\partial{V}}{\partial{T}}\bigg)_p$$
Pembahasan:
Petunjuk pertama adalah ungkapan $S=S(V,T)$ dan $V=V(p,T)$. Turunan parsial total dari masing-masing berturut-turut adalah
$$dS=\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{V}}\bigg)_T dV+\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{T}}\bigg)_V dT\qquad(*)$$dan
$$dV=\bigg(\frac{\partial{V}}{\partial{p}}\bigg)_T dp+\bigg(\frac{\partial{V}}{\partial{T}}\bigg)_p dT\qquad(**)$$
Dengan menyulih persamaan (**) ke persamaan (*) dan dengan mengingat bahwa untuk tekanan konstan berlaku $dp=0$ diperoleh
\begin{align}dS&=\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{V}}\bigg)_T \bigg(\frac{\partial{V}}{\partial{T}}\bigg)_p dT+\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{T}}\bigg)_V dT \nonumber\\
dS&=\bigg[\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{V}}\bigg)_T \bigg(\frac{\partial{V}}{\partial{T}}\bigg)_p +\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{T}}\bigg)_V\bigg]dT\nonumber \\
\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{T}}\bigg)_p &=\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{V}}\bigg)_T \bigg(\frac{\partial{V}}{\partial{T}}\bigg)_p +\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{T}}\bigg)_V\nonumber \\
\end{align}
Kalikan semua ruas dengan $T$ sehingga dipeoleh
$$T\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{T}}\bigg)_p =T\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{V}}\bigg)_T \bigg(\frac{\partial{V}}{\partial{T}}\bigg)_p +T\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{T}}\bigg)_V$$
Dengan menggunakan definisi $C_p$ dan $C_V$ persamaan tersebut menjadi
$$C_p =T\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{V}}\bigg)_T \bigg(\frac{\partial{V}}{\partial{T}}\bigg)_p +C_V$$
atau (sesuai permintaan soal)
$$C_p-C_V=T\bigg(\frac{\partial{S}}{\partial{V}}\bigg)_T \bigg(\frac{\partial{V}}{\partial{T}}\bigg)_p $$
[t e r b u k t i]